کنترل غیرخطی بهینه ی جرثقیل های حامل کانتینر با استفاده از معادلات …

‏۳‑۳۵

با استفاده از رابطههای (‏۳‑۳۳) و (‏۳‑۳۴) در رابطهی (‏۳‑۳۲) خواهیم داشت:

‏۳‑۳۶

با دقت در رابطهی (‏۳‑۳۵)، درمییابیم همان معادلهی SDRE میباشد با رجوع به معادلهی ریکاتی معمولی ملاحظه میشود؛ که فرق اصلی این معادله با آن، در وابستگی این معادله به متغیر حالت میباشد. حال با توجه به روابط (‏۳‑۱۳)، (‏۳‑۲۴)، (‏۳‑۲۶) و (‏۳‑۳۴) خواهیم داشت:

‏۳‑۳۷

بدین ترتیب با حل معادلات (‏۳‑۳۵) و (‏۳‑۳۶) میتوان ورودی کنترلی حلقه بسته را یافت. نکته قابل ذکر دیگر این است که در صورتی که به سیستم اغتشاش وارد نشود، همانطور که در بسیاری از کتابهای کنترل بهینه [۲۶] ذکر شده است عبارتهایی شامل  حذف میگردد.
در ادامه دو روش تکرار برای حل معادلات SDRE در حالت زمان محدود و نامحدود را بیان میکنیم.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت azarim.ir مراجعه نمایید.

روشهای حل معادله ریکاتی وابسته به حالت (SDRE)

در معادلهی ریکاتی معمولی، تنها مجهول P(t) بود. اما برای طراحی سیستمی با اغتشاش که مد نظر در این کار میباشد، باید دو مجهولP(t) و  را بهدست آوریم. باید برای بدست آوردن این دو در زمان دلخواه، آنها را به صورت عقبگرد[۸۲] از زمانهای نهایی حل نمود.اما در اینجا ضرایب با توجه به نقطهی x که در آن هستیم تغییر میکنند. پس برای اجرای فرمان عقبگرد، به منظور حل معادلهی SDRE، نیاز به مقدار متغیر حالت در هر زمان دلخواه داریم. مشکل از این جا شروع میشود که ما تنها مقدار اولیهی x را داریم. همچنین برای بهروزکردن[۸۳] متغیر حالت نیاز به ورودی میباشد که خود نیاز به مقدار P و  در زمان مورد نیاز وابسته است. لذا کار برای حل معادلات SDRE به مراتب دشوارتر از معادلهی ریکاتی خواهد شد. تاکنون روشهای متعددی برای حل این نوع معادلات ارایه شده است. ما در این کار جرثقیل حامل کانتینر را با دو روش زمان محدود و نامحدود برای حل معادلهی SDREکنترل میکنیم.
ابتدا روش حل تکرار معادلهی SDRE، ارایه شده توسط دکتر خالوزاده[۲۶]، که توسط مهندس بیکزاده درستی آن به اثبات رسیده [۳۰]، را شرح میدهیم. حسن این روش، در سادگی پیادهسازی آن است. این روش برای سیستمهای افاین به کار میرود. روش کار به این صورت است که ابتدا سیستم را بدون ورودی فرض میکنیم. در نتیجه متغیرهای حالت را تا زمان نهایی، به صورت زیر بهدست میآوریم:

‏۳‑۳۸

سپس معادلهی SDRE را به کمک متغیرهای حالت بدست آمده از رابطهی (‏۳‑۳۸)، به صور عقبگرد حل میکنیم. در نتیجه تمامی P و  ها در رابطههای (‏۳‑۳۵‏) و (۳‑۳۶) بدست میآیند. لازم به ذکر است که در حل این معادله به صورت عقبگرد، از روش حل انتگرالی در معادلات ریکاتی تقلید میکنیم. یعنی در رابطهی (‏۳‑۳۵‏) و (۳‑۳۶) ، به جای  و  ، به ترتیب  و  را بازنویسی میکنیم [۳۱]. سپس معادله را بر حسب P(t-1) و  ، به صورت عقبگرد حل میکنیم. حال با داشتن Pها، قادر به بدست آوردن سیگنال کنترلی K از طریق رابطهی (‏۳‑۳۴) خواهیم بود. سپس با توجه به مقادیر بدست آمده و استفاده از آن در رابطهی (‏۳‑۳۷) ورودی کنترلی بدست میآید.
دوباره مراحل گفته شده را تکرار میکنیم، ولی این بار در رابطهی (‏۳‑۳۸) از ورودیهای بدست امده از رابطهی (‏۳‑۳۴)، برای به روز کردن متغیرهای حالت سیستم استفاده میکنیم. این تکرار را آنقدر ادامه میکنیم تا تغییرات u قابل چشمپوشی بشود.
روش حل این معادله در حالت نامحدود به این شکل است که با داشتن x0، ماتریسهای A(x0) و B(x0) را خواهیم داشت و در نتیجه میتوان معادلهی ریکاتی را به صورت یک معادلهی ریکاتی معمولی بر حسب ماتریسهای ثابت A(x0) و B(x0) به صورت نامحدود حل کرد. سپس با مقدار P و  و در نتیجه ورودی کنترلی بدست آمده از حل مسالهی کنترل بهینه خطی(LQR) در این مرحله؛ مقادیر حالت سیستم را به روز نمود. در مرحلهی بعد مسالهی کنترل بهینهی خطی را به طریق گفته شده بر حسب ماتریسهای ثابتA(x1) و B(x1) حل نموده و این مراحل را در هر زمان تکرار نمود.

کنترلکننده و رویتگر SDRE